Bu yazı bir akşam yemeğinde yapılan sohbetten esinlenerek kurgulanmıştır. Masada benimle beraber devlet okulunda lise matematik öğretmeni olan arkadaşım ve bir mühendis dostum bulunmaktaydı. Odak noktası matematiğin öğretilmesi ve öğrenilmesi olan benzer sohbetlerin farklı deneyimler ve görüşler ışığında yaygın ve sık olarak yapıldığından kuşkum yok. Matematiğin insana temasının bizler için mucizevî bir fırsat olduğuna inanıyorum. Bizlerin matematiğe ne kadar temas edip edemediğimizin, onunla kurduğumuz ilişkinin de her birimiz için ayrı bir hikâyesi olduğunu düşünüyorum. Bu nedenle kendi bağlamında kurgulanan bu üç kişilik sohbete tüm okurları davet ediyor ve zihinlerinden geçen düşünceler ve özgün yaklaşımlarıyla katılmalarını umuyorum.
Sohbetin bu yazıya konu olan bölümü “İdeal matematik öğretmeni nasıl olmalı?” sorusuyla başladı, mühendis (M) dostumun bana (B) ve özellikle de meslektaşıma yönelttiği sorularla devam etti. Lisede matematik öğretmeni (LMÖ) olan arkadaşımın daha fazla soruya muhatap olmasının nedeni öğretmenlik mesleğini klasik bağlamda icra ediyor olmasıydı. Bu ilk soruyla birlikte sohbetin ilk aşaması daha çok matematiği öğretme (!) çabamız üzerinden ilerledi.
Matematiği nasıl öğretiyoruz?
LMÖ: “İdeal matematik öğretmeni” derken mükemmel, kusursuz bir öğretmenden söz etmiyoruz değil mi; çünkü ideal vücut sıcaklığı, havadaki ideal nem oranı gibi ölçütlerin benzerleriyle “ideal öğretmen”, “ideal insan” gibi kavramları tanımlamak mümkün değil. Bence ideal öğretmen olmayan öğretmendir!
B: “İdeal” yerine “idealist” sözcüğünü kullanmak daha doğru olabilir ve belki idealist matematik öğretmeninden söz edilebilir. Aklıma Rus yazar Grigory Petrov’un Türkçeye İdeal Öğretmen adıyla çevrilen kitabı geliyor. Petrov, çok başarılı genç bir matematik profesörünün çalıştığı üniversiteden istifa edip bir köy okulunda çalışmaya başlamasının hikâyesini anlatır. Bilim dünyası tarafından övülen ve matematikçilerin ondan önemli keşifler beklediği bu genç profesör, kendi arzusuyla üniversitedeki eğitim ve öğretim çalışmalarına son verir. Herkes büyük bir merakla “Ama neden?” diye sorar. Genç matematik profesörü bu soruya tek bir cevap verir: Bir köyde, sıradan bir köy öğretmeni olmak için!
M: Hocam, hikâye kahramanı gibi öğretmenlerden artık çok az, onlar 20’inci yüzyılın romantik şövalyeleriydi. Elbette günümüzde de özverili köy öğretmenleri var ama ben sizden ideal bir lise matematik öğretmenini tarif etmenizi istemiştim. Anladım, topu taca atıyorsunuz. O zaman daha somut bir soru: Geçen gün, matematik öğretmeni sınıfta bir trigonometri probleminin çözümünü bitirdiğinde kızım, “Bu işlemleri neden yaptığınızı anlamadım, ayrıca buraya nereden vardığınızı da kavrayamadım.” sözleriyle dersi böldüğünü anlattı. Bence bu durum bir öğretmen için kriz anıdır. Sizler böylesi krizleri nasıl aşıyorsunuz?
B: Ben Cauchy’nin yöntemini öneriyorum! Ünlü Fransız matematikçi Augustin-Louis Cauchy derslerinde soru soran öğrenciye şöyle bir bakıp hiçbir şey demeden derse devam edermiş. Günler geçtikçe derse giren öğrenci sayısı azalır ve sonunda artık soru sorulmaz olurmuş, çünkü sınıfta öğrenci kalmazmış!
LMÖ: Meslek hayatım boyunca böylesi pedagoji krizlerini en iyi nasıl aşarım diye düşündüm ve farklı yöntemler uyguladım. Öğretmenliğimin ilk yıllarında Cauchy’ninkine benzer bir yolla konuların belli bir süre zarfında işlenmesi gerektiğini ve diğer öğrencileri meşgul etmemek gerekçesiyle soru soran öğrenciye “teneffüste gel bakalım” dedim.
M: Hocam çok ilginç, geçen gün kızıma öğretmeninin verdiği cevap da tam olarak böyleydi. Oysa bence bir öğretmenin “Burada olmaz” deme hakkı olmamalı.
LMÖ: Aslında bu cevap, krizin ders sırasında yok sayılması anlamına geliyor. Ayrıca, çözümün tekrar anlatılması da krizin aşıldığını göstermiyor. Yıllarca öğrencilere bir problem sorup yaklaşık beş dakika bekledikten sonra en iyi çözümü yaptığımı düşünerek, yeni bir problem daha çözdüm, sonrasında bir problem daha… Bu yöntemle işlediğim derslerle aslında öğrencilere kötülük yaptığımı yıllar sonra fark ettiğimi itiraf etmeliyim.
B: Vay… Demek öğrencilere kötülük yaptığını düşünüyorsun.
LMÖ: Evet, sayılar ve sembollerle işlem kurallarını kullanarak sadece anlatıyordum. Oysa anlatmak öğretmenin daha azını içerir.
B: “Anlatma” sanatta da önemli bir mesele. Niteliksiz sanat yalnızca “Güneş doğdu” şeklindeki anlatmadır. Gerçekten nitelikli sanat eserleri ise güneşin doğuşunu duyumsatır değil mi?
LMÖ: Yıllarca matematiği niteliksiz bir sanat gibi anlattığımı düşünüyorum, çünkü bu yöntem sadece anlatmaktan, düşünmeden tekrar etmeyi sağlamaktan ibaret, öğrenciler benim çözdüğüm sorunun benzeri bir soru varsa çözüyorlar, yoksa geçiyorlar. Böylece öğrenciler de taklit etme alışkanlığı oluşuyor. Matematik öğretiminin temel amacı olan analiz etme, keşfetme becerilerinin geliştirilmesi adına kayda değer bir adım atılamamış oluyor. Bir öğretmen olarak bir öğrenciye bu kötülüğü yapmamam gerektiği sonucuna vardım ve bir şey daha keşfettim, matematiği bu yöntemle öğretmeye çalışmamın nedeni matematiği benim de bu yolla öğrenmiş olmamdı, yani benim öğretmenlerimin de ders işleme yöntemi otoriter ve didaktikti.
M: Söyledikleriniz bana lise öğretmenimle aramda geçen bir diyalogu hatırlattı: Bir gün öğretmene “Bir sayının 0’ıncı kuvvetinin neden 1 olduğunu anlamıyorum.” dediğimde “Sana böyle olacağını daha önce söylemiştim.” cevabını almıştım.
Matematik öğretmeye ilişkin tecrübeler, yanılgılar ama daha da önemlisi sorgulamalarla süren sohbetimizin sonraki aşamasında kaçınılmaz olarak matematiğin nasıl öğrenileceğini tartışmaya başladık.
Matematiği nasıl öğreniyoruz?
M: Peki, hocam bu kötülüğün farkına nasıl vardınız?
LMÖ: Yeni Hayat romanının giriş cümlesi olan “Bir gün bir kitap okudum bütün hayatım değişti.” sözünün doğruluğuna pek inanmam ama Macar matematikçi George Polya’nın “Nasıl Çözmeli?” isimli kitabıyla karşılaşmam ve Matematik Köyü’nde girdiğim dersler düşünce dünyamda köklü değişikliklere neden oldu. Polya, bir matematik öğretmeninin yapabileceği
en iyi şeyin problemi çözmek değil, öğrencinin parlak fikirler bulmasına yardım ederek onun çözmesini ya da en azından uğraşmasını sağlamak olduğunun altını çizer.
M: Ülkemizde, hatta dünyada sözünü ettiniz şekilde, yani öğrenciyi merkeze koyarak ders işleyen öğretmenlerin olması mümkün değil; çünkü belli bir sürede yetiştirilmesi gereken konular, uygulanması zorunlu olan bir müfredat var ve sonrasında da teftiş!
LMÖ: Haklısınız, dikkat ederseniz “derslerimi öğrenci merkezli işliyorum” demedim,“ işlemeye çalışıyorum” dedim. Sözünü ettiğiniz faktörlere ek olarak dijital iletişimin hızı göremeden bakıp geçmeye yol açıyor, düşünme ihtiyacını zayıflatıyor. Böyle bir ortama doğan bu kuşak bizim öğrencilerimiz ve onlarda problemlerle uğraşma sabrını oluşturmak kolay değil. Ancak sürekli olarak koşullardan yakınmak, şikâyet bağımlılığına dönüşerek eylemsizliği doğuruyor. Oysa bir öğretmen olarak ne kadarını değiştirebilirsem o kadar iyi diye düşünüyorum.
B: Çok doğru, az önce sözünü ettiğimiz idealist köy öğretmenleri de olanaksızlıklar içinde ellerinden ne gelebiliyorsa o kadarını yapabiliyorlar değil mi?
M: Çok güzel ama öğrencinin parlak fikirler bulmasına yardımcı olmak pek kolay değil, bunu nasıl başarıyorsunuz?
LMÖ: Başardığımı söyleyemem ama çabalıyorum. Sanatsal eserlerin yarattığı etkiye benzetirsek, ben de öğrencilerimde matematiği duyumsatmaya çalışıyorum. Öğrencinin bir şeyi öğrenebilmesi için her şeyden önce öğrenme iştahının yaratılması gerektiğini düşünüyorum, belki size ütopik gelecek ama bir öğretmenin en büyük başarısının öğrencide öğrenmeyi talep etme iradesini güçlendirmek olduğuna inanıyorum.
M: Bizim öğrenciliğimizde “öğrenci” sözcüğünün yerine daha çok “talebe” sözcüğü kullanılırdı. Talebe sözcüğünün dilimize Arapçadan “talep eden” anlamıyla geçen bir kelime olarak hatırlıyorum.
LMÖ: Çok güzel, o zaman benim derslerdeki çabamı, öğrencinin “öğrenme” faaliyetini talebe rolüyle sürdürmesini sağlamak diye özetleyebiliriz. Yani bir öğrenci için matematikteki teoremler, formüller, problemlerin çözümleri kendi dışındaki bilgi ve kurallar yığını ya da öğretmenin doğrusu değil de talebenin muhakeme yoluyla ulaştığı kendi doğrusu olmalı.
M: Sorumu yineliyorum, öğrencinin talebe rolünü üstlenmesi için pratikte neler yapıyorsunuz?
LMÖ: Öncelikle, bir konuyu ele alırken matematik tarihinden söz etmeye çalışıyorum. Öğrenciler, matematiğin de tıpkı sanat ve bilimde olduğu gibi uzun tarihsel bir süreçte insanların yoğun çabalarıyla geliştiğini değil de sanki doğaüstü güçler tarafından ortaya atılmış kutsal metinler olduğunu düşünüyorlar. Örneğin Blaise Pascal’ın adını duymuşlardır ama onun sikloid eğrisi üzerine yaptığı çalışmaları sürdürebilmesi için Tanrı tarafından diş ağrısının sonlandırıldığını düşündüğünü bilmiyorlar.
M: Bu tür hikâyeleri anlatarak matematiğin bir insanlık macerası olduğuna mı vurgu yapmak istiyorsunuz?
LMÖ: Kesinlikle öyle. Örneğin geçen gün analitik geometri dersinin başlangıcında analitik geometrinin Pierre Fermat ve Rene Descartes tarafından birbirlerinden bağımsız olarak keşfedildiğinden söz ederek kısaca Descartes’in hayatına değindim. Sonrasında da Descartes’ın sokakta bir kadını taciz eden eli bıçaklı birini kılıcıyla etkisiz hale getirerek elindeki bıçağı aldığını ve o sokak serserisine zarar vermeden onu kadından uzaklaştırdığından söz ettim. Hikâyenin sonunda kız öğrencilerin başlattığı alkışlarla bütün sınıfın Descartes’ı alkışlaması beni de şaşırttı doğrusu.
B: Böylece matematikçilerin de sıradan insanlar gibi sosyal hayatın içinde olduklarının altını çiziyorsun. Bence bu çok güzel.
M: Hocam, ben özellikle matematik dersinin öğrenci merkezli bir yöntemle nasıl işlenebileceğini merak ediyorum.
LMÖ: Az önce de söylediğim gibi, zamansızlık, müfredat, çoktan seçmeli sınavlara hazırlık gibi etkenler yüzünden derslerimin tümünü öğrenci merkezli bir anlayışla işleyemiyorum maalesef ama mümkün olduğunca deniyorum. Örneğin konu bilgisini öğrencilerle tartışarak ele aldıktan sonra basit sayılabilecek birkaç problem çözüp, görece zor bir problemi öğrencilere sorup, düşünmelerini istiyorum. Düşünme süresini mümkün olduğunca uzatmak gerekir ama maalesef az önce belirttiğim nedenlerden dolayı bu süre 20-25 dakikada sınırlı kalıyor, bazen bir ders süresini de kapsayabiliyor. Sonrasında problemle ilgili bazı ipuçları vermeye çalışıyorum, gerekirse benzer bir problemin çözümünü hatırlatıyorum. Ki bu sürecin sonunda genellikle problemi çözen öğrenciler çıkıyor.
M: Peki ya çözemeyenler?
LMÖ: Sınıfa hep şunu söylüyorum: “ Elbette çözmek çok hoş bir duygu ama asıl önemli olan uğraşmak ve düşünmek. Bir teoremi kanıtlamak, bir problemi çözmek için sabırla uğraşan birinin matematiği öğrenememesi mümkün değil”. Cahit Arf’ın “Matematikte zekâdan önce sabır gelir sözünü” hatırlatıyorum.
B: Ali Nesin’in bir yazısında okumuştum. Ali Nesin üniversitede verdiği derslere ilişkin yaptığı sınavların birinde sınıftaki öğrencilerden biri dışında diğer öğrenciler iki saatlik sınav süresi dolmadan sınav salonunu terk etmişler ve geçer not alamamışlar. Sınav süresinin sonuna kadar sorularla uğraşan o öğrenci de geçer not alacak bir sınav kâğıdı vermemesine rağmen iki saat boyunca sorularla uğraşma sabrını gösterdiği için geçer not almış. Sen de böyle bir ödülle öğrencilerine bir problemle uğraşma sabrını oluşturabilirsin.
LMÖ: Evet o zaman herkes geçer not alır ama zaten lisede öğrencinin sınavdan erken çıkmasına izin verilmiyor.
M: Hocam az önce laf arasında teorem kanıtlamaktan söz ettiniz. Derslerinizde matematiksel kanıta zaman ayırabiliyor musunuz?
LMÖ: Sormayın, bence lise matematiğinin kanayan yarası matematiksel kanıt; çünkü çoktan seçmeli sınava hazırlanan bir öğrencide teorem kanıtlama motivasyonu yaratmak kolay olmuyor. Oysaki biliyorsunuz bir matematikçi için kanıtsız matematik bir hiçtir. Hadi diyelim ki, lise matematiğinde akademik matematikte olduğu kadar kanıt belirleyici değil. Bu önerme doğru olabilir ama bazı temel teoremlerin kanıtlanmaması halinde o dersin adı artık matematik olmayacaktır.
M: Bu temel teoremlere örnek verebilir misiniz?
LMÖ: Thales, Pisagor Teoremleri, Öklid’in çok zarif bir yolla kanıtladığı “ Sonsuz sayıda asal sayı vardır” önermesi, Aritmetiğin Temel Teoremi, “üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı180 derecedir” önermesi, kosinüs ve sinüs teoremleri gibi.
M: Öğrencilerinize matematiksel kanıtın gerekliliğini nasıl anlatıyorsunuz?
LMÖ: Öğrencilerime hep şunu söylüyorum: yeni bir cep telefonu modeli yapmayı düşünmüyorsanız kullandığınız cep telefonunun nasıl çalıştığını bilmeseniz de olur, ama bir geometri sorusunu çözerken Pisagor Teoremi’ni kullanıyorsanız o teoremin nasıl çalıştığını yani kanıtını bilmelisiniz. Çünkü bir geometri problemini çözmek, yeni bir cep telefonu tasarlarcasına sizin attığınız adımlarla ilerleyen bir süreç, öncesinde ne yapıldığını bilmek zorundasınız.
Zaman hızla geçmişti ve artık sohbetimizi sonlandırmak üzereydik. Matematiğin bizimle kurduğu temas kadar bizim onunla nasıl temas kurabileceğimiz üzerine cevabını aradığımız daha çok soru vardı.
Ve daha başka sorular…
M: Anladım hocam, bir matematik öğretmeni olarak matematik felsefesiyle ilgileniyor musunuz, sizce matematik icat mı keşif mi gibi aklıma takılan daha birçok soru var ama saat çok geç oldu, kalkalım artık.
LMÖ: Size son olarak bu konuyla ilgili bir utancımı itiraf edeyim: Matematik Dünyası dergisi1991’den bu yana Türk Matematik Derneği tarafından yayımlanan bir dergi ve ben maalesef bu dergiyle meslek hayatımın 10’uncu yılında meslek hayatıma başladıktan on yıl sonra tanıştım. Şimdi, matematik öğretmeni olarak ülkemde yayımlanan bu dergiden haberim olduğu halde o on yıl boyunca duyarsız kaldığım için hayıflanıyorum; çünkü aklınıza takılan bu soruların tümünü sonrasında gecikerek Matematik Dünyası’ndan öğrenmeye çalıştım.
M: Üzülmeyin hocam, başlangıçta siz “ideal öğretmen olmayan öğretmendir” demiştiniz ama ben bu akşam ideal bir öğretmenle sohbet ettim.
