Bir anımdan söz ederek başlamak istiyorum. Bir gün, bir kadın zemin katta oturan annemin balkonunun önündeki bahçeden çiçek kopardı. Balkonda duran annem kadına hiçbir şey demeden ellerini havaya kaldırdı ve kadının “Ama sadece bir tane kopardım” sözü üzerine “İyi ama herkes bir tane koparsa …” karşılığını verdi. Kadın sonrasında “Haklısınız, kusura bakmayın “ diyerek yürüdü.
O gün, annemin farkında olmadan “İyi ama herkes bir tane koparsa…” sözüyle “abese irca” yöntemini kullandığını, yani “saçmaya indirgeyip” kendi gerçeğini karşıdakini çelişkiye düşürerek ifade ettiğini ve kadının “kusurunu” kabul etmiş olmasının sonuçları üzerine düşünmüştüm. Aklıma ilk gelen sözcük eğitim olmuştu.
Osmanlıcasını ilginç bulduğum için “abese irca” olarak kullandığım “olmayana ergi” ya da Latince ismiyle “reductio ad absurdum” bir iddiayı doğru kabul ettiğimizde o iddianın bizi istenmeyen ya da çelişkili sonuçlara götürmesinden yola çıkarak iddianın yanlış olduğunun gösterilmesini hedefleyen bir çıkarım türüdür. Antik Yunan felsefesinde gelişmeye başlamış, filozoflarca sık sık kullanılmıştır. Olmayana ergi yoluyla çıkarımda bulunmaya ilişkin örnekleri mantık ve matematiğin dışında felsefe, fen bilimleri, sosyal bilimler, hukuk gibi alanlarda ve edebiyatta da çokça bulabiliriz.
Platon ve “Reductio ad Absurdum”
Antik Yunan filozofu Platon, Devlet kitabında ve birçok yazısında “reductio ad absurdumu” kullanır. Devlet’in birinci kitabında Polemarchus ile Sokrates arasında “adalet”e ilişkin yürütülen tartışmada adaletin “dostlara iyilik, düşmanlara kötülük etmek” olduğu tanımından hareketle gelişen aşağıdaki diyalog reductio ad absurdum’un ilginç bir örneğidir.
– Peki, hastalıklar söz konusu olunca dostlarına iyilik, düşmanlarına kötülük etmeye en çok kimin gücü yeter?
– Hekimin.
– Ya deniz yolculuklarında tehlike baş gösterince, kimin?
– Kaptanın.
– Peki, ya adil bir insan için ne diyeceğiz? Onun hangi işlerde dostlarına yarar, düşmanlarına zarar vermeye gücü yeter?
– Bence savaşta düşmanlarla dövüşmede, dostlarla birleşmede.
– Peki, ama sevgili Polemarchus, hasta olmayanlara hekimin bir yararı olur mu?
– Olmaz.
– Deniz yolculuğuna çıkmayanlara kaptanın?
– Olmaz.
– Peki, savaşamayanlara da adil bir insanın yararı olmaz, öyle mi?
– Olmaz olur mu?
– Öyleyse doğruluk barışta da yararlıdır?
– Evet.
Dostoyevski ve Olmayana Ergi
Ünlü Rus yazar Fyodor Dostoyevski’nin birçok romanında karakterler olmayana ergi mantıksal çıkarımını kullanarak akıl yürütürler. En güzel örneklerden biri Karamazov Kardeşler’de İvan Karamazov’un kardeşi Alyoşa’yla olan diyaloglarında yer alır. İvan, insanların acı çekmesiyle Tanrı arasındaki ilişkiyi reductio ad absurdum’la ele alır:
“Eğer herkesin acı çekmesi zorunluysa, herkes mahşerden sonraki ‘ölümsüz’ kusursuz düzene ancak acı çekme pahasına kavuşabilecekse o halde çocukların bu işte suçu ne? Neden onlar da büyüklerle aynı doku içine girmişler?”
Matematikte Olmayana Ergi
Olmayana ergi, formel bir çıkarım biçimi olması nedeniyle matematikte de sıkça kullanılır. En bilinen ve matematikçilerin bilmeyenlere acıyarak baktığı kanıtlardan biri de asal sayılar kümesinin sonsuz sayıda elemanı olduğunun kanıtıdır. Günümüzden iki bin beş yüz yıl önce Öklid’in Elemanlar kitabında yer alan ve mükemmel bir reductio ad absurdum örneği olan bu kanıtı aşağıda sözel olarak açıklamaya çalıştım.
Asal sayıların sonlu olduğunu varsayalım. Eğer asal sayılar sonlu ise tüm farklı asalları çarparak yeni bir sayı inşa edebiliriz. Bu sayıya A diyelim. Şimdi, A+1 sayısına bakalım. Bu sayı A’daki asallardan hiçbirine tam bölünmez; çünkü bu sayı A’daki her asal sayıya bölündüğünde 1 kalanını verir. Ki bu bizi A’daki asallardan daha büyük bir asal sayının olduğu sonucuna götürür. Oysa A sayısı sonlu tüm asal sayıların çarpımıydı. Çelişki! Asal sayılar kümesinin sonsuz sayıda elemanı vardır.
Kanıt ve Eğitim
Her fırsat bulduğumda matematikte ve de matematik öğretiminde kanıtın önemini vurgulamaya çalışıyorum. Matematiği öğrenme sürecinde kanıta yaklaşımı ve anlayışını edinememiş olmak doğru ve geçerli bir muhakeme için çok önemli bir fırsatı kaçırmak anlamına geliyor. Matematiksel kanıt/mantıksal kanıt, karar verme süreçlerimizde kesin-belirli olanla kuşkulu, belirsiz olanı ayırt etmede güvenilir bir filtreye sahip olmamızı sağlar; bize herhangi bir durum karşısında gelişkin ve kapsayıcı bir görüş ve bakış açısı kazandırır.
Kanıt tipi problemlerin mantıksal akıl yürütmeye imkân veren ve varılan yanlış sonuçla bir başka önermeyi akla getirmeyi mümkün kılan esnek yapısı, öğrenciye konuyla ilgili bilgilerdeki eksiklik ve yetersizliklerin kendisini kısıtlamadan yol almasına izin verir. Kanıt problemlerinde çözüme yönelik düşünme sürecinin kişinin metakognitif (üstbiliş) farkındalığı ve kontrolüyle birlikte harekete geçmesi çok önemli ve değerli diğer bir özelliktir. Bütün bu özellikleri nedeniyle kanıt problemlerinin farklı düzeylerde, okul öncesi de dâhil, eğitimin tüm aşamalarında kullanılması gerektiğine inanıyorum.
Diğer yandan, öğrencilerin kanıt tipi problemlerden pek hoşlanmadıkları, bu problemlerle uğraşırken daha fazla güçlük çektikleri ve direnç gösterdikleri, eğitim alanında yürütülmüş olan çok sayıda çalışmayla gösterilmiş bir durumdur. Ülkemizde olduğu gibi dünya genelinde de kanıt tipi problemlerin örgün eğitimde daha az kullanıldığını söyleyebiliriz. Bununla beraber, farklı ülkelerde çok sayıda eğitim kurumu ve araştırmacı tarafından dikkat çekilen ve eksiklik olarak görülen bu duruma yönelik öneriler geliştirilmektedir.
Olmayana Ergi ve Eğitim
Bu yazıya konu olan “olmayana ergi” yoluyla mantıksal çıkarımlar yapılması, bu yöntem üzerinden kanıtlama faaliyetinin yürütülmesinin eğitim için etkili yöntemlerden biri olabileceğini düşünüyorum; çünkü bu yolla, tepeden inme, otoriter bir eğitim anlayışı yerine karşıdakini samimi ve gönüllü olarak çelişkiye düşürerek ikna etmek ve “eğitmek” mümkün olabilir. Bu tür bir kanıtlama sürecinde öğrenciler önermelerin geçerliliğini deneyimleyip hissedebilir.
Özellikle okul öncesi eğitimde “Senin yaptığını arkadaşlarının da yaptığını düşünsene…”, “Peki o zaman ben de masaya ayağımı koyuyorum…”, “Arkadaşların yere tükürüyor, peki arkadaşların uçurumdan atlasa sen de mi atlayacaksın?” gibi ifadelerle “abese irca” yapılabilir.
Küçük yaşlardaki çocukların akıl yürütme süreçlerinde daha derin ve ayrıntılı bir kavrayışın gelişmesi yolunda basit ve anlaşılır biçimde kurgulanmış “olmayana ergi” yoluyla yapılan çıkarım örneklerinin sadece mantıksal muhakeme için değil, aynı zamanda tutum eğitimi için de etkili bir yöntem olabileceğine inanıyorum. Çocukların yaşlarına uygun bir bağlamda ve onların merakını uyandıracak biçimde “eğer – o zaman” biçimindeki koşullu akıl yürütmeyi kullanmalarına fırsat vermek, çelişkileri ortadan kaldırarak doğru çıkarımda bulunmalarını sağlamak didaktik yolla erişilemeyecek bir kazanımdır.
Çocukların küçük yaşlardan itibaren mantıksal düşünmeyle meşgul olmaları, akıl yürütme süreçlerini ifade edebilmeleri ve kendi düşünme süreçleri üzerine düşünebilme ile kazandıkları farkındalıkları çok önemlidir. Çünkü tüm bunlar daha sonra kazanmaları beklenen diğer üst düzey düşünme becerileri için etkili bir tetikleyici olacak, mantıksal akıl yürütme ile tümdengelimli akıl yürütme arasında sağlam bir köprü oluşturacaktır.
Olmayana Ergi Kullanımının Riskleri
Eğitimde bu yöntemi kullanmanın bazı riskleri de var kuşkusuz. Karşıdakini çelişkiye düşürürken küçük düşürmemeye, onda utanma, korku gibi olumsuz duyguları uyandırmamaya dikkat etmek gerekir. Ayrıca çelişkiyle karşılaşan kişide yüzleştiği gerçek sonrası yola devam edebilme, yeni şeyler öğrenebilme motivasyonu da sağlanabilmeli. Bütün bunları uygulayabilmek kolay değil ama üzerinde kafa yormaya değer.
Çünkü “yapma”, “etme” gibi kurallar koymak yerine öğrencilerin argümanlarını ifade ettikleri, sorgulayıp tartıştıkları interaktif bir sürece imkân veren Sokratik diyalog, ikili akran grupları gibi öğretim teknikleriyle birlikte uygulanacak olan “olmayana ergi” yöntemi çok daha etkili olabilir.
Önceki kazanımların kullanılmasını gerektiren ve önceki kazanımların üzerine inşa edilen aşamalı ve lineer bir öğrenme sürecinin yanı sıra bu yöntemin öğrencilere başka bir bakış açısıyla çözüme ulaşmada esneklik ve kendi stratejilerini kullanabilmede serbestlik vereceğini düşünüyorum. Eğitimin “eğiten” tarafında yer alanlar bu mantıksal çıkarım kuralının pratik uygulamalarıyla eğitilen kişinin değer sistemini dönüştürebilir.
Mantık Disiplininin Önemi
Son olarak, “olmayana ergi” yöntemini tanımlayan mantık disiplininin önemini de bu yazı bağlamında özellikle vurgulamak gerektiğine inanıyorum. Mantık disiplini akademik bir faaliyet olmanın ötesinde, günlük yaşamda karşılaştığımız çözüm bekleyen problemler, karar verme süreçlerimiz, yaptığımız tercihler ve üzerinde düşünmek zorunda olduğumuz konular için bizi güçlü kılabilecek bir alandır.
Sadece matematikle olan ilişkisiyle sınırlı olmayacak biçimde mantık, gündelik hayatımızda, mesleki faaliyetlerimizde, sosyal ilişkilerimizde doğru düşünmek, doğru sonuçlara ulaşmak için bizi besler. Hangi bilgiyi, nerede, ne zaman, nasıl ve neden kullanacağımız konusunda akıl yürütme süreçlerimizi, düşünme sistematiğimizi geliştiren, bakış açımızı ve ufkumuzu genişleten güçlü araçlarla bizi donatabilir. Bu nedenle örgün eğitimde mantık alanının tamamen ihmal edilmiş olmasını çok önemli bir eksiklik olarak görüyorum.
Teşekkür
Her yazıma dokunuşlarıyla can veren canım kardeşim Elif Törün bu yazıyı yoktan var etti. Çok teşekkür ediyorum.
Kaynaklar:
Platon, Devlet, Çev. Hüseyin Demirhan, Islık Yayınları, 2016.
Fyodor Dostoyevski, Karamazov Kardeşler, Cem Yayınevi, 1997.
Bu Önermeleri Kanıtlayabilir misiniz?
Aşağıdaki iki önermeyi kanıt dizgesindeki her adımın gerekçesini belirtip, olmayana ergi yöntemiyle kanıtlayarak 15 Şubat 2025 tarihine kadar a.trnn60@gmail.com adresine yollayan ilk iki okura Matematiğin (M)izahı isimli kitabımı hediye etmek istiyorum.
- Birinci önerme: a ve b tamsayı olmak üzere a² – 4b ifadesi 2’ye eşit değildir.
- İkinci önerme: Yirmi beş kadın ve yirmi beş erkek yuvarlak bir masanın etrafına oturuyorlar. Her türlü oturma düzeninde her iki komşusu da kadın olan en az biri vardır.
Geçen Yazıdaki Problemlerin Çözümü
Geçen sayıdaki iki problemin çözümü Atilla Özdemir hocamız tarafından yapıldı.
Sahte Para Problemi 1
Problem: Bir masanın üzerinde hepsinin görünüşü aynı, biri sahte olmak üzere 4 madeni para ve ayrıca gerçek olduğunu bildiğiniz 1 madeni para var. Dört gerçek paranın ağırlığı aynı olup, sahte para diğer 4 paradan daha ağır veya daha hafif olabilir. İki kefesi olan bir teraziyle sadece iki tartım yaparak sahte parayı belirlemeniz gerekiyor. Bunu nasıl yapabilirsiniz?
Çözüm:
Birinin sahte olduğunu bildiğimiz 4 parayı A, B, C, D ve gerçek parayı da E ile gösterelim.
- A, B, C, D arasından A ile B’yi terazinin bir kefesine, C ile E’yi diğer kefeye koyalım.
- Terazi dengedeyse tek tartımda sonuca gideriz; D sahte paradır.
- Ayrıca D ile E’yi tartarak karşılaştırıp, gerçekle sahte arasında hangisinin daha ağır olduğunu belirleyebiliriz.
Eğer terazi dengede değilse, iki seçenek oluşur:
- Ya A ve B’den biri ağır ve C hafiftir.
- Ya da A ve B’den biri hafif ve C ağırdır.
Bu durumda, A ve B’yi terazinin iki ayrı kefesine koyarak tartıp sahte olan parayı belirleriz.
Sahte Para Problemi 2
Problem: Bir masa üzerinde hepsinin görünüşü aynı olan 12 madeni para var. Paralardan biri sahte ve diğer 11 madeni paradan daha ağır veya daha hafif. İki kefesi olan bir teraziyle sadece üç tartım yaparak sahte parayı belirlemeniz gerekiyor. Bunu nasıl yapabilirsiniz?
Çözüm:
- Paraları dörderli üç gruba ayıralım. Herhangi iki grubu tartarak karşılaştıralım.
Durum 1: Terazi Dengesizse
İlk tartımda ağır gelen taraftaki paralardan 2 tanesini bir kefeye, diğer 2 tanesini öbür kefeye ve hafif gelen taraftaki paralardan 1 tanesini bir kefeye, 1 tanesini de diğer kefeye koyarak her iki kefede de 3 para olacak şekilde ikinci tartımı yapalım.
Durum 1a: Terazi Dengesizse
Sahte para ya ilk tartımdaki ağır taraftan gelen iki paradan biri ya da ilk tartımdaki hafif taraftan gelen paralardan biridir.
Şimdi, ikinci tartımda ağır olan tarafta yer alan ve ilk tartımda ağır taraftan gelen paraları tartarak karşılaştıralım.
- Terazi dengesizse ağır gelen para sahtedir.
- Terazi dengedeyse ikinci tartımda hafif olan tarafta, ilk tartımdan gelen tek para sahtedir.
Durum 1b: İkinci Tartımda Terazi Dengedeyse
Sahte para, ilk tartımda hafif olan tarafta olan ve ikinci tartıma alınmayan paralardan biridir.
Bu paraları tartarak karşılaştırır ve hafif olanın sahte olduğunu kolaylıkla anlarız.
Durum 2: İlk Tartımda Terazi Dengedeyse
Sahte para, tartılmayan 4 paradan biridir.
Bunlardan üçünü daha önce tarttığımız ve gerçek olduğunu bildiğimiz herhangi üç parayla tartarak karşılaştıralım.
Durum 2a: Terazi Dengedeyse
Tartma işlemine almadığımız para sahtedir.
Durum 2b: Terazi Dengede Değilse
Tarttığımız üç paradan birinin sahte olduğunu anlar ve şu adımları izleriz:
- Eğer gerçek paralar daha ağırsa, sahte paranın bulunduğu üçlüden herhangi ikisini tartarak karşılaştırır, hafif olanın sahte olduğunu belirleriz.
- Son tartımda terazi dengedeyse, tartmadığımız para sahtedir.
- Eğer ikinci tartımda gerçek paralar daha hafifse, bu kez sahte paranın bulunduğu üçlüden herhangi ikisini tartarak karşılaştırır, ağır olanın sahte olduğunu belirleriz.
- Ve yine, eğer son tartımda terazi dengedeyse, tartmadığımız para sahtedir.
